יצפאן יליד שכונת נווה שרת שבתל אביב להורים יוצאי עיראק, הוא הבן החמישי במשפחה בעלת שמונה ילדים. אמו הייתה מטפלת ואביו היה בעל מתפרה. אחיו הבכור מנשה נהרג בתאונת דרכים ב-30 באפריל 1970. בילדותו, למד בבית הספר "ברושים" ללקויי למידה, ובראשית שנות ה-80 למד בבית הספר החקלאי כדורי וכבר בבית הספר בלט כקומיקאי מוכשר. הוא שירת בצה"ל בצוות מוזיקלי "צה"ל 84" וב"להקת המפח"ש" (במאי הלהקה היה אז חנן גולדבלט, וכוכבת הלהקה הייתה אורנה דץ). בתקופה בה פיקד אלי יצפאן על הלהקה, הופקה תוכניתה החדשה בניהולם של אהוד מנור ושל מתי כספי.