נולד בשם עודד משה פז וגדל בהרצליה, בשנת 2012 פז הצליח לשנות את שם הרחוב שבו הוא גר בהרצליה לרחוב סומסום. בגיל 14 שיחק בקומדיית המצבים "הכל נשבר במשפחה" לצד ציפי שביט ודב רייזר. במהלך השנים 1996–1997 השתתף בעונה הבימתית האחרונה של המחזמר "דוד". במהלך שירותו הצבאי בתיאטרון צה"ל הכיר את יובל סגל, אילן רוזנפלד וקובי פרג', והשלושה – אילן רוזנפלד, קובי פרג' ועודד פז, יחד עם יואב צפיר, יצרו את הסדרה "גרוב סטייל", אשר לימים שינתה את שמה ל"הפיג'מות", בה הוא משחק בתור מתופף הלהקה. במקביל, השתתף פז בתפקיד אורח בדרמה המוזיקלית "השיר שלנו" בתור דמות משנה ובסדרת הדרמה "השמיניה". בנוסף, השתתף יחד עם חבריו מ"הפיג'מות" בתוכנית מערכונים בשם "צרבת" בערוץ המוזיקה. במהלך שנת 2007 החל פז להגיש ביחד עם אילן וקובי שתי תוכניות ברדיו 99, תוכנית לילדים בבוקר ותוכנית למבוגרים בלילה, ובמקביל יצרו את תוכנית המערכונים "העיר שלנו", ששודרה בערוץ 2 בשידורי קשת, ואת סדרת הבת של הפיג'מות "קפה קר-סול". בשנת 2008 השתתף בעונה הרביעית של תוכנית המציאות "רוקדים עם כוכבים" והגיע למקום החמישי. פז דיבב את קולו של מלפורד העכבר בסדרה "אנימליה" לצד מאיה בר שלום ובנוסף קריין עם קובי פרג' ב"אולימפיאדת החיות". יחד עם חבריו לפיג'מות השתתף עודד ב"פסטיגל פנטזיה" (2006) וב"פסטיגל על הזמן" (2007). בשנת 2008 הנחה את "תפוס ת'פסטיגל" לצדו של שלמה בראבא, בשנת 2009 השתתף ב"קונג פו פסטיגל" בשנת 2013 ב"x פסטיגל" ובשנת 2016 ב״היי סקול פסטיגל2״ פז שיחק בסדרה "האחים דה-גמה" ששודרה בערוץ לוגי עם אילן רוזנפלד וקובי פרג'. הוא שיחק גם בסדרות "המופע של דובל'ה" וב"קפה קר-סול", ששודרו ב-HOT Games והיו לסדרות בת של "הפיג'מות". בשנת 2009 יצר והחל להנחות סדרת טלוויזיה בשם "הטבח המתוסבך" ביחד עם יובל סגל (ששיחק איתו ב"הפיג'מות") וגם התחיל להשתתף במופע מסיבת פיג'מה עם עודד פז. בשנת 2018 גילם את שמבלול בסרט הקולנוע "גיבור בעננים". בשנת 2019 החל להגיש בערוץ כנסת את התוכנית "אלף בית בפוליטיקה", המנגישה את הפוליטיקה לילדים. בשנת 2020 החל להגיש את השעשועון הפוליטי הראשון בישראל, "אחוז החסימה". באוגוסט 2021 העלה מופע בשם "עודד פז והקסדות", עם שירים מהסדרה "הפיג'מות" בביצועים מחודשים של פז והרכב הקסדות. בשנת 2022 החל לשחק את אבא של אפריים בהצגת הילדים "אבא עושה בושות" שכתב אילן רוזנפלד על פי ספרו של מאיר שלו, וביים עידן עמית.

ב-2 בינואר 2011 הצטרף יחד עם דנה פרידר לצוות המנחים של ערוץ הילדים, ובאותה שנה השתתף בפסטיגל. באותה שנה הנחה את "ששטוס" והשתתף לצד דון לני גבאי בתוכנית "הפסקה פעילה". בתחילת חודש פברואר 2012 התחיל להנחות עם דנה פרידר את התוכנית "ממצחיק", העוסקת בקטעים משעשעים ברשת. בהמשך שנת 2012 השתתף בסדרה "גאליס" בתפקיד דורון שראוזינגר, שהיה בהתחלה הסוכן של יולי ואחר כך גם של רונה, וכן הנחה את הסדרה "סתאאאם!" של ערוץ הילדים, המבוססת על "פיספוסים", לצד יגאל שילון, דנה פרידר וטל מוסרי. בשנת 2013 הנחה את "מוכשרים בטירוף", לצד דניאל מורשת בערוץ הילדים. ב-27 באוגוסט 2013 החל להנחות יחד עם שחר חסון את תוכנית הסטנדאפ "הפרעת קשב". בקיץ 2014 השתתף בהצגת הילדים המחודשת של "ספר הג'ונגל" בבימויו של חנוך רוזן, שהוצגה בספארי ברמת גן בתפקיד הסנאי פאקלי. בשנת 2015 ביים את הצגת הילדים המוזיקלית "ילד פלא", שכתב יובל סגל. בשנת 2015 חזר לשחק בסדרה "גאליס". בשנת 2016 חזר לשחק בסדרה גאליס בעונה השביעית ואחרונה. משנת 2013 ועד 2021 הנחה עודד את התוכנית הבנים והבנות בערוץ הילדים. משנת 2019 מנחה את התוכנית "נינג'ה ישראל ילדים" לצד אליאנה תדהר. בשנת 2020 חזר להנחות את התוכנית "הבנים והבנות" לצד בן זיני ואנה זק. בשנת 2021 פז עזב את ערוץ הילדים.

בשנת 2015 נישא לאושר סלים ולהם בן. הם מתגוררים בהרצליה.