משה אשכנזי במופע סטנד אפ חדש!!

אשכנזי נולד וגדל בעכו, למד במגמת תיאטרון בניהולה של סימונה מזרחי בבית ספר התיכון "אורט דרסקי", עכו. את צעדיו הראשונים עשה בשנת 2004, כשבתום שירותו הצבאי עבר לתל אביב ולמד בקורס משחק בבית הספר "הסטודיו" של יובל כרמי. באותה שנה החל ללמוד בבית הספר למשחק של סמינר הקיבוצים בניהולו של איציק ויינגרטן (2004–2007).

בשנה השנייה ללימודיו אשכנזי החל לשחק בתיאטרון הערבי-עברי ביפו. הוא שיחק בהצגה "גריניץ'", פרי עטו ובבימויו של שי פיטובסקי. הוא גילם את דמותו של משה שולמן, בחור שמאבד את אביו. אחר-כך שיחק בתפקיד עבד, סוחר נשים ערבי, בהצגה "המערב הפרוע", בבימויו של סיני פתר, ובתפקיד הכומר בהצגה "אמא קוראז'", בבימויו של יגאל עזרתי. במקביל כתב ושיחק ביחד עם איתמר מלול, במופע מערכונים בצוותא בשם "אשכנזי ומלול". ב-2008 קיבלו הצמד פינה קומית בתוכנית הרדיו היומית "רדיו ללא הפסקה" של דידי הררי. ב-2009 הגיש פינה קומית בתוכנית הלילה "לילה לבן" בערוץ 2, רשת, וגם שיחק בתפקידי אורח בסדרות ותוכניות הטלוויזיה "בנות הזהב", "טוב שבאת", "לשם שינוי", "פולישוק", "סימני שאלה" ו"אנחנו לא משוגעים". ב-2012 התפרסם בשלושה פרויקטים גדולים שיצאו במקביל: הוא שיחק בתפקיד ראשי בסדרת הטלוויזיה "אננדה", שיצרה דנה מודן ושודרה בהוט 3; גילם את דמותו של עומאר, נווד ערבי צעיר המטייל בהודו; באחד התפקידים הראשיים בסרטו של שמי זרחין "העולם מצחיק" (2012) גילם את דמותו של נסי, בחור שמתעורר מתרדמת של תשע שנים ונושא איתו סוד גדול מעברו; ובתפקיד משני בסרט הקולנוע "הדילרים" של עודד דוידוף (2012). הוא גילם את דמותו של יאיר, סוחר סמים ירושלמי. עוד באותה שנה שיחק בסרט "קשת בענן" בבימויו של אלירן אליה. הסרט עוסק במבצע איתור גופות חיילנו לאחר אסון הנגמ"שים, אשכנזי מגלם בו את דמותו של חובש ביחידה קרבית. הוא הנחה סדנאות משחק והומור עם נוער בסיכון, במסגרת פרויקט יוצרים צעירים עם קשת ופרויקט שח"ם בפריפריה. בנוסף, החל לעבוד על מופע סטנד-אפ אישי, ומשחק בהצגה "כיוונים" שכתב וביים אסף שלמה, שעוסקת במשחקי נשק בצבא ומציגה בצוותא. בשנת 2013 החל להשתתף בפאנל התוכנית "הדיבור", המשודרת בערוץ 24, בהנחיית אלירז שדה. כמו כן באותה שנה שיחק בסדרה "פצועים בראש" כדמות משנה, בתור מנהל ה"פרגולה" - בר בתל אביב. ב-2014 שיחק בסרטו של ארנון צדוק, "כיפה אדומה". ב-2015 השתתף אשכנזי בתוכנית הסאטירה "הכל שפיט" ששודרה בערוץ הראשון. החל משנת 2016 מגלם אשכנזי את לירוי בסדרת הדרמה "מטומטמת" המשודרת בהוט 3. באותה שנה הצטרף גם לצוות השחקנים בסדרת הטלוויזיה "מפלצות קטנות" בערוץ 2, בתפקיד עידן. ב-2018 השתתף בסדרה "בשבילה גיבורים עפים", בקשת 12. באותה שנה החל לגלם בתיאטרון הבימה את מני במחזמר "מיקה שלי", המבוסס על שירי יאיר רוזנבלום. ב-2019 החל לגלם את סרג'יו קונסטנזה (במקביל לשלומי קוריאט) במחזמר "גבעת חלפון אינה עונה" המבוסס על הסרט של הגשש החיוור בתיאטרון הבימה. באותה שנה העלה מופע סטנד-אפ חדש. ב-2020 שיחק בסדרה "הנחלה", בתפקיד גבע פיילוט. בנוסף לכך גילם תפקיד קטן בסדרה "מקיף מילאנו", בכאן חינוכית. ב-2021 שיחק את דמותו של העוזר הפרלמנטרי "עדי מדינה" בסדרה "מותק בול באמצע" ששודרה בכאן 11. בנוסף בשנה זו אשכנזי מגלם את אודי ב"זאת שלי". באותה שנה שיחק בסדרה "בעלת החלומות" בHOT בידור, בתפקיד צחי טולדנו. בשנת 2022 השתתף בעונה השמינית של "רוקדים עם כוכבים" בקשת 12 הודח שביעי, וחזר לנבחרת המאוחדת לאחר ניצחונו בפרק גלגל ההצלה מבין הזוגות שהודחו. הודח סופית בהדחה השתים עשרה. באותה שנה גילם דמויות שונות בסדרה "פשע לא מאורגן" בקשת 12. ב-2023 שיחק בסרט "לרוץ על החול". מפברואר 2023 הוא הפרזנטור של זוגלובק.

במסגרת לימודיו זכה במלגת "קרן שרת אמריקה ישראל" 2005.

אשכנזי נשוי ללירון טובול ולהם שלושה ילדים. באוקטובר 2023 עבר אשכנזי עם אשתו וילדיו להתגורר בתאילנד. אחיינו רותם דוידסון, בנה של אחותו רויטל נהרג ב-2011, בגיל 11, לאחר ששער כדורגל נפל עליו בזמן אימון.