אוז נולד בשדרות בשם יעקב אוּזָן, למשפחה של יוצאי תוניסיה. חלק משנות ילדותו עברו עליו במושבה גן יבנה. כשהיה בן 15, שינה את שמו ל"קובי אוז" והחל לנגן בעיירה שבה נולד. אוז ניגן בעיקר כקלידן בהרכבים שונים, בהם להקת שפתיים, אבל עם שירותו בצה"ל החל לנסות את כוחו כאומן סולו. ב־1988 הוציא תקליט שדרים ראשון, ובו השירים "סילונים" ו"אל תלכי", שלא זכו להצלחה בתחנות הרדיו. גם שירי הסולו הבאים שהוציא, "לספור כבשים" ו"גשם של שטן", לא זכו לתשומת לב מיוחדת. מכיוון שידע לנגן רק בקלידים ובסינתיסייזרים, הבין במהרה שהצלילים שהפיק לא יישמעו היטב בעולם הרוק הישראלי המתעורר והחל לנגן עם נגנים אחרים, שמאוחר יותר התגבשו להרכב "טיפקס". אוז הפך למנהיג הלהקה, לסולנה, לכותב המילים ולמלחין העיקרי בה.

בשנת 1999 נישא אוז לשחקנית אביטל אברג'יל. ביולי 2003 השניים התגרשו. בשנת 2005 נישא אוז בשנית לשירה ארד, דיג'יי, עורכת וידאו ושחקנית בעברה. בשנת 2009 הם התגרשו.בשנת 2010 נישא בשלישית לבת שבע מזרחי. לזוג נולדו תאומות ב־2010, ב־2012 נולדה להם בת וב־2014 נולד להם בן. מתגורר בתל אביב. בדצמבר 2018 פורסם שהיה מבין מייסדיה של מפלגת גשר בראשות אורלי לוי-אבקסיס.