נולדה בשם אנה קוזניקוב בסוצ'י שברוסיה, ובגיל 10 עלתה לישראל עם אביה דניס קוזניקוב, אמהּ נטליה, אחותה הגדולה וסביהם, והם השתקעו באשדוד. טרם עלייתם, אמהּ הייתה אחות בבית חולים, ואביה עסק בנדל"ן. לאחר מכן הוריה נפרדו, ואביה חזר לרוסיה. היא התחנכה בבית ספר מקיף ח' שבאשדוד. שם המשפחה זק, שמשמש אותה, נבחר כשם במה קצר וקליט.משפחתו של אביה יהודית, בעוד משפחתה של אמהּ לא, ולפיכך זק עצמה אינה נחשבת ליהודייה על פי ההלכה. ב-2018, בריאיון ל"את", סיפרה זק שהיא לא שקלה לעבור גיור, אך היא מרגישה מאוד מחוברת לישראל ולתרבות שלה.במרץ 2020 התגייסה לשירות בצה"ל ביחידת מיטב, במחלקת עידוד גיוס ודיגיטל, והשתחררה כעבור שנתיים.

זק החלה להתפרסם לאחר שהופיעה בשנת 2014 בעונתה השנייה של שעשועון הריאליטי "הבנים והבנות" בערוץ הילדים. התוכנית גרמה להיחשפותה של זק ולפריצתה ברשתות החברתיות.

בין השנים 2020–2023 הייתה בזוגיות עם הזמר רועי סנדלר. החל מדצמבר 2023 נמצאת בזוגיות עם הזמר והשחקן יהונתן מרגי. ב-10 במרץ 2021 שודר הפרק "לאן נעלמה אנה זק?" בתוכנית התחקירים "חשיפה" בקשת 12, בה חשפה זק שלקתה בשיתוק על שם בל במהלך שנת 2020, ולאחר מכן החלימה.

ערך מורחב – דיסקוגרפיה של אנה זק