נולד בדימונה, לפנינה ולרב דוד תורג'מן, ראש הישיבה הגבוהה בעיר. אחותו היא הזמרת רוחמה בן יוסף. ביסודי ובחטיבת הביניים למד בדימונה. היה חניך ומדריך בבני עקיבא. אחר כך למד כשנה וחצי בישיבת מקור חיים, חצי שנה בכפר עציון, ובכיתה י"א עבר לישיבת עתניאל. בסוף השנה עבר לישיבת רמת גן למשך כשנתיים וחצי. אחרי שנתיים בישיבה התגייס לחטיבת גולני, וזמן קצר לאחר תום שירותו התחתן.

עקיבא למד בבית הספר למוזיקה "מזמור" שם הכיר את נאור כרמי, מייסד להקת הלב והמעיין שבהמשך הביא אותו להיות סולן הלהקה. שיתוף הפעולה עם כרמי המשיך לפרויקט "צמאה", שבו אמנים ידועים שרים ניגוני חב"ד, והוא שותף בהפקת האלבום הראשון, השלישי, הרביעי והחמישי. בין השירים שהפיק וביצע: "אלי אתה", "כי אנו עמך" (קולות), "דרכך אלוקינו" ו"ניגון הקפות". בשנת 2017 הוציא את האלבום "עולמות", שהפיק ניר מימון. מבקר המוזיקה נתנאל לייפר העניק לאלבום ביקורת חיובית וכתב "יש הרבה אמנים חדשים עם אלבומים חדשים. חלקם טובים, חלקם קצת פחות ויחידים מצוינים אחד מהם הוא עקיבא שהוציא את אלבום הבכורה שלו 'עולמות', אלבום רוק בועט ושורט שמצליח לשלב בין נשמה ורגש לבין רוק סוער וחודר... עקיבא פוסע בדרך הנכונה להפוך לזמר מבוקש ומוערך, האלבום החדש שלו עושה טעם חזק של עוד".ב-2018 הוציא סינגלים מתוך האלבום השני שהפיק מאור שושן, "הכל עוד אפשרי", "לך לך" ו-"אל תעזבי ידיים"."אל תעזבי ידיים" הגיע למקום הראשון במצעד הרשמי של גלגלצ ולמקום השביעי במצעד הפזמונים העברי השנתי של התחנה בשיתוף עם אתר ynet. הסינגל צבר 18 מיליון צפיות באתר יוטיוב. ביוני 2019 התארח בהופעה של ישי ריבו בקיסריה והשניים ביצעו את "אל תעזבי ידיים" בדואט שצבר 6.6 מיליון צפיות באתר יוטיוב. במרץ 2020 הוציא את הסינגל "פשוטים", אותו כתב והלחין עם אשתו. הסינגל צבר 13 מיליון צפיות באתר יוטיוב והגיע למקום ה-24 במצעד הפזמונים העברי השנתי של גלגלצ ו-ynet. ביולי 2020 הוציא הזמר עידן רפאל חביב את הסינגל "שלמים", אותו כתב והלחין תורג'מן לצד אבי אוחיון ומתן דרור. השיר הגיע למקומות הראשונים בתחרויות ובמצעדים רבים, וצבר מספר רב של צפיות והשמעות בפלטפורמות שונות.במרץ 2021 הוציא את הסינגל "אתה הולך איתי", אותו הלחינו וכתבו עקיבא, אבי אוחיון, נתן גושן ומתן דרור. הסינגל צבר 5.8 מיליון צפיות באתר יוטיוב.ביולי 2021 הוציא את השיר "שלום בבית", אותו כתב והלחין עם צמד היוצרים דולי ופן. הסינגל צבר 6 מיליון צפיות באתר יוטיוב.בפברואר 2022 הוציא את הסינגל-קליפ "יש בך הכל", שכתב לבנו יחד עם אשתו והלחין לבדו. הסינגל צבר 11 מיליון צפיות באתר יוטיוב, וזכה בתואר "שיר השנה" במצעדי המוזיקה של האתר "כיכר השבת", של רדיו "קול פליי" ושל רדיו "קול ברמה". עקיבא גם זכה בתואר "זמר השנה" בשלושת המצעדים האלו. בדצמבר , חג החנוכה, הופיע עקיבא בבנייני האומה. מבקר המוזיקה נתנאל לייפר נכח באירוע והעניק לו ביקורת חיובית: "עקיבא הוא ווקליסט מעולה עם טונים גבוהים ומדויקים, זמר עם נשמה אמיתית ונוגעת, כזה ששופך את ליבו על הבמה בשירה. הרבה זמרים שרים בדבקות - אבל לעקיבא אני גם מאמין".ב-8 באוגוסט 2023 הוציא את הסינגל "רוצה להתעורר". הסינגל הגיע למקום ה-79 במצעד היטליסט.

נשוי לצורית, שהשתתפה אתו בכתיבת כמה משיריו, ואב לחמישה. מתגורר בתל אביב. אחותו היא המוזיקאית רוחמה בן יוסף.