כהן נולד וגדל בשדרות, למעט תקופה של מספר שנים בילדותו שהתגורר עם משפחתו בקנדה. הוריו, אסתר ושמואל כהן, הם ממוצא מרוקאי. כהן הוא בן הזקונים במשפחתו, לו שני אחים מבוגרים ממנו, עמיר וקובי. בצה"ל שירת בבסיס חיל האוויר בחצרים. בתום שירותו הצבאי למד כהן לתואר ראשון בכלכלה וניהול ובמקביל עבד כמנהל צוות בחברת בזק און ליין ואחר-כך היה מנהל מוקד, בתקופה זו החל ללמוד בסדנה למשחק עם הבמאי רמי דנון בשעות הפנאי, ולאחר שלוש שנים החליט לזנוח את לימודיו באוניברסיטה וללמוד משחק בצורה רצינית. כהן הוא בוגר המחזור הראשון של גודמן - בית ספר למשחק בנגב, השוכן בבאר שבע, בראשותם של שמוליק יפרח ורפי ניב (2005–2008). במהלך לימודיו זכה כהן במלגת הצטיינות על שם מרק חסמן בשנים 2006/5 ו-2007/6, במלגת תחרת מונולוגים בשנים 2006/7 ו-2007/8 ובמלגת מצטיין המחזור התלת-שנתית 2007–2008. במהלך סדנה הוא כתב יחד עם צביקה הדר ושלושה חברים מופע קומי בשם "החצר של סרוסי", אותו הציגו כמופע עצמאי במהלך השנה השנייה ללימודיו. בתום לימודיו גייס אותו נתן דטנר, מנהל תיאטרון באר שבע דאז, לתיאטרון באר שבע והוא משחק בו מאז. אורן כהן שיחק בין היתר בתיאטרון באר שבע בהצגה "קן הקוקייה" בתפקיד בילי ביביט, עליו זכה בפרס התיאטרון בקטגוריית השחקן המבטיח לשנת 2011. ההצגה הועלתה בהתחלה בבית הספר למשחק, כחלק מעבודת התחקיר לתפקיד הלך אורן יחד עם קאסט השחקנים למרכז לבריאות הנפש בבאר-שבע וערך סדנאות תיאטרון עם המטופלים. באחד מביקוריו במקום פגש כהן ילד מהמטופלים שמאוד הזכיר לו את דמותו של בילי ביביט במחזה, הוא השתמש בלבושו של הילד ולמד את שפת גופו, בהם הופיע בהצגה. כהן שיחק בתפקיד הראשי בהצגה "תרנגול כפרות" בתיאטרון הקיבוץ בה גילם את דמותו של נורי, לפי ספרו של אלי עמיר. שיחק בסרט "וסרמיל" בבימויו של מושון סלמונה ובסרט "כביש 40 דרום" בבימויו של אלדד בוגנים. ב-2011 הצטלם למיני-סדרה "שביתה" בבימויו של רני בלייר, ששודרה ב-yes. השתתף במספר פרסומות. כהן מלמד במגמות תיאטרון בבתי ספר שונים בבאר-שבע ומביים הפקות נוער. בשנת 2007 החל כהן לשחק בטלנובלה המוזיקלית השיר שלנו את עתניאל נבון אחיו הגדול של הראל לצידם של אושרי כהן,רן דנקר, נינט טייב,רן בכור, ליאור אשכנזי, רונה לי שמעון, אלי אלטוניו, עידו מוסרי ועוד. החל מאוגוסט 2012 הוא מנחה ביחד עם השחקן ירמי רייך את "שותפים לתשע" תוכנית סאטירה מדי בוקר ברדיו דרום. החל מסוף נובמבר 2012 ישחק כהן בתפקיד הראשי בהצגה "משחיז הסכינים הסיני", שתעלה בתיאטרון באר שבע. ההצגה מבוססת על סיפורי ילדותו של נסים אלוני; כהן יגלם את דמותו של אדירנה, בן דמותו של אלוני. אורן כהן נשוי ללילך, להם שלושה בנים, והם מתגוררים בבאר שבע.

תיאטרון באר שבע מחזות זמר תיאטרון הקיבוץ