רוטשילד נולד בבית החולים "העמק" בעפולה לשלמה ולדבורה (שיפמן) רוטשילד, ממקימי קיבוץ מרום גולן. הוא גדל בקיבוץ גבת עד 1987 עת הגיע לגיל 7, אז עבר עם משפחתו להתגורר בכרמיאל. רוטשילד הוא בן זקונים ולו שני אחים ואחות בכורה. בשנת 2000 החל את לימודי המשחק בסטודיו למשחק ניסן נתיב בתל אביב ומאז השתתף בסדרות טלוויזיה, ביניהן "סרוגים", "מעורב ירושלמי", "החיים זה לא הכל" ועוד. רוטשילד דיבב דמויות רבות כגון: אבא של מיילו ב"דרושות אמהות במאדים", אוסקר ב"בלינג בלינג", וריאן ב"מכוניות 3" ושיחק בתיאטראות שונים ביניהם תיאטרון חיפה, תיאטרון הבימה, תיאטרון החאן ותיאטרון הקאמרי. הוא מנגן בגיטרה ובפסנתר.

בתיאטרון, החל רוטשילד את דרכו בשנת 2004 בהפקת תיאטרון חיפה למחזה "משפחת ישראלי" של בועז גאון בבימויו של משה נאור. בשנת 2005 השתתף בקופרודוקציה של תיאטרון הבימה ותיאטרון החאן במחזהו של נסים אלוני "בגדי המלך" בבימויו של מיקי גורביץ'. בשנה זו הצטרף ללהקת תיאטרון החאן. בין שלל תפקידיו בתיאטרון זה הוא השתתף בשנת 2006 בהצגה "עירם של האנשים הקטנים" מאת שלום עליכם, בבימוי אופירה הניג, בשנת 2007 גילם את קאסיו ב"אותלו" מאת שייקספיר בבימוי מיקי גורביץ', בשנת 2008 גילם את פרדי ב "הנסיכה האמריקאית" מאת נסים אלוני בבימויו של אודי בן-משה ובדצמבר 2009 גילם בתיאטרון החאן את ליסנדר ב"תעלולי סקפן" למחזהו של מולייר גם הוא בבימויו של בן משה. מאז שנת 2011, משחק רוטשילד בתיאטרון הקאמרי. בשנה זו גילם את סימון חחאווה ב"מעגל הגיר הקווקזי" מאת ברכט לצד שלמה בראבא ובשנת 2013 גילם את התפקיד הראשי ב"הם יורים גם בסוסים" מאת הוראס מק'קוי בבימוי דדי ברון. באותה שנה השתתף במחזהו של ברטולט ברכט "אמא קוראז' וילדיה" בתפקיד "גבינה שווייצרית", בנה של קוראז' אותה גילמה תיקי דיין ובמחזה "פאנק רוק" מאת סיימון סטיבנס. בשנת 2014, גילם רוטשילד את אורסטס ב"אלקטרה" מאת סופוקלס, את התפקיד הראשי ב"אח יקר" מאת גדי ענבר בבימוי עודד קוטלר, את ליאם ב"יהודים רעים" מאת ג'ושוע הרמון ובשנת 2017 גילם את אורלנדו במחזה מאת ויליאם שייקספיר "כטוב בעינכם" בבימויו של אודי בן-משה . ביוני 2017, עלתה בתיאטרון הקאמרי ההצגה "קרום" מאת חנוך לוין בכיכובו של רוטשילד לצד ענת וקסמן. בפברואר 2019 עלה המחזה "אניהו" מאת רוני סיני ואתגר קרת בבימוי שירילי דשא בו רוטשילד משחק את התפקיד הראשי לצד נדב אסולין, אלי גורנשטיין ועוד. החל ממאי 2021 רוטשילד משחק בתפקיד הראשי בהצגה "4 אימהות" בתיאטרון בית לסין. את המחזה כתב דניאל לפין וביים אילן רונן. ביוני 2023 החל לשחק בהצגה "השכנים מלמעלה"המוצגת בתיאטרון הבימה.

רוטשילד שיחק במספר סרטי קולנוע, ביניהם: "איים אבודים" בבימוי רשף לוי בו גילם את דמותו של אמיר, ו"חסר מנוחה" של עמוס קולק, בו גילם רוטשילד את דמותו של ברוך. בשנת 2019 יצא לאקרנים הסרט "בלי דם", של הבמאי יוסף אל-דרור, בו משתתף רוטשילד בתפקיד ראשי בדמותו של רוני. בשנת 2008 השתתף בתפקיד אורח בסדרה "סרוגים" בתור בצלאל, בן זוגה של הודיה. ב-2015 שיחק בתפקיד ראשי בסרט הטלוויזיה "ההפך".

אודי מתגורר ביפו עם בת זוגו השחקנית נטע פלוטניק ולהם שלושה בנים משותפים. אחיו הוא המוזיקאי איתמר רוטשילד.