בשנות התיכון למד קושניר בפנימייה החקלאית "הכפר הירוק". את שירותו הצבאי עשה בנח"ל ואחר כך בנ"מ. עם שחרורו עבד כפועל במה ולאחר מכן, מנהל הצגות.

את דרכו המקצועית כשחקן החל קושניר בתחילת שנות השמונים במופעי סטנד-אפ. בשנת 1985 הנחה את תחרות הפסטיגל לצד גדי יגיל.

פרס האקדמיה לטלויזיה לשחקן הטוב ביתר על משחקו בסדרת הטלויזיה "החיים זה לא הכל". בשנת 2021 זכתה חמישיית "זהו זה" (גידי גוב, אבי קושניר, דב'לה גליקמן, מוני מושונוב ושלמה בראבא) בפרס מפעל חיים של אמ"י (תשפ"ב). בשנת 2022 זכתה התוכנית בפרס מפעל חיים מטעם האקדמיה הישראלית לקולנוע וטלוויזיה.מאי 2023 תואר דוקטור לשם כבוד מטעם אוניברסיטת בר-אילן לקושניר ולמשתתפי התוכנית זהו זה בהווה: דבל'ה גליקמן, שלמה בראבא, מוני מושונוב וגידי גוב, על תרומתם המשותפת לתרבות הישראלית בשנת ה־75 למדינת ישראל, ועל יכולתם לשמח וללכד את הציבור סביב יצירתם.

קושניר נשוי לכרמל קושניר ואב לשלושה. בנו הבכור, יותם קושניר, הוא שחקן, אשר שיחק, בין השאר, בסדרת הטלוויזיה "אליפים". בנו השני, יפתח קושניר, הוא מטפס הרים מקצועני, והשתתף בשתי העונות הראשונות של התוכנית "נינג'ה ישראל" אשר שודרה בקשת 12 (בעונה הראשונה הגיע למקום השלישי). בתו נועה קושניר הופיעה בתפקידי אורח בסדרה "החיים זה לא הכל". מתגורר עם משפחתו בתל אביב.