בראבא נולד בחדרה וגדל בנתניה להורים ניצולי שואה כבן בכור ולו שתי אחיות קטנות. הוא קרוי על שם סבו מצד אביו, אשר היה הרב הראשי של העיר לודז'. בנעוריו למד במגמת דרמה בבית הספר לאמנויות רננים בתל אביב. לאחר ניסיון הסגירה של בית הספר בשנת 1967 והעברתו מן הבניין הקבוע, סיים את כיתה י"ב בתיכון תלמה ילין. בראשית שירותו הצבאי, היה חניך בקורס טיס. לאחר שנשר ממנו, עבר ללהקת פיקוד מרכז והשתתף בשנת 1969 בתוכניתה "רד אלינו לבקעה", בה שר סולו בשיר "המלווה". באותה שנה נבחרה הלהקה כלהקת השנה בגלי צה"ל. בשנת 1970 השתתף בתוכנית נוספת של להקה פיקוד מרכז - "ליד הירדן".

עם שחרורו מצה"ל, הופיע בר אבא בהצגה "הקורקבן" לצד אורי זוהר ולמד לתואר ראשון בחוג לתיאטרון באוניברסיטת תל אביב. בשנות ה-70 הצטרף לפרויקט של נולה צ'לטון בקריית שמונה. ב-1972 החל בהופעות בידור יחד עם מוני מושונוב שהיה שותפו שנים ארוכות והופיע בהצגות תיאטרון חיפה כמו במחזה החברתי קריזה. בשנת 1975 שיחק יחד עם מושונוב בפרק "הקופאי" מתוך הסדרה "גם אנו שופטים". בשנת 1978 החל לשחק בתוכנית הטלוויזיה הידועה "זהו זה!" יחד עם מושונוב, גידי גוב ושחקנים נוספים, שם הוא זכור בעיקר בזכות דמותו של "יאצק", מעין פארודיה על דמות של חלוץ ציוני עם שפם, כובע טמבל, מכנסי חאקי ואקורדיון, שהסביר על מקומות בארץ במבט הומוריסטי. ב-2011 נבחר יאצק במקום ה-10 במצעד הדמויות האהובות ביותר של הטלוויזיה החינוכית. בראבא הציג הומור נונסנס מטורף שהיווה השראה לבדרנים רבים אחריו. דוגמה לקטע מפורסם שלו: הוא מתחיל לספר בדיחה על פולני, כורדי ושוודי שנוסעים ברכבת, עובר בינתיים לנושאים אקטואליים, ובשובו חזרה אל הבדיחה, הכורדי היה הולך לאיבוד בדרך. בראבא העלה יחד עם מושונוב מספר מופעי בידור, בהם "רואים כפול", "פתאום ביחד", "הביצה והתרנגולת" ועם אמנים נוספים את "ערב חד פעמי" ו"ערב חד פעמי קונבנציונלי". במקביל לקריירת הבידור הופיע בראבא בהצגות התיאטרון: "ויהי חור", "רומיאו ויוליה", "קריזה", "ליל העשרים", "קרום", "גן הדובדבנים", "אוליבר טויסט", המחזמר הישראלי (בהפקה מסחרית של מנחם גולן), "הקייטנים", ו"הזלמנאים" בתיאטרון חיפה, "החייל האמיץ שווייק" ו"הקומיקאים" בתיאטרון הבימה, ו"המכשפה", המחזמר "המפיקים", המחזמר ״משהו מצחיק קרה״ ובהצגה "הכתובה" בתיאטרון הקאמרי. בקולנוע השתתף בסרטים: "מסע אלונקות" (1977), "האיש שבא לקחת" (1981), "המגילה 83" (1983), "נישואים פיקטיביים" (1988), "כבלים" (1992), "הערת שוליים" (2011), "זינוק בעלייה" (2014), "אהבה בשלייקס" (2019) ו"שאיפה לחיים" (2020). במהלך שנות ה-80 השתתף בדיבוב דמותו של בנץ מהצמד אריק ובנץ בתוכנית הטלוויזיה לילדים "רחוב סומסום", ובשנת 2004 דיבב את דמותו של סייקס בסרט "תפוס ת'כריש". במסגרת הצמד "מוני ובראבא" השתתף בחמישה מופעי פסטיגל. השירים שביצע הצמד היו "חברים" (1983), "עייפים אך מרוצים" (1984), "השיר של יומבו וגמבא" (1987), "אני והצל שלי" (1988) ו"ילד סנדוויץ'" (1990). ב-1991 השתתף, לצד מוני מושנוב, גידי גוב, האחיות יוספי ושלישיית הופה היי, במופע לפסח שנקרא "זהו הופה". בשנת 1992 יצר ושיחק בדוקומדיה בשלושה חלקים "י. שוורץ ומלחמתו בחיים" בערוץ 1, אשר עם השנים זכתה למעמד של סדרת פולחן. בימיו הראשונים של ערוץ 2 גילם את דמותו של "ברונו" בפינה קבועה של הזכיינית טלעד שבה הציג את לוח השידורים בהומור הפרוע והאופייני לו. ב-1998 שודרה עונה שנייה ל"ברונו", שהוקדשה הפעם לחגיגות ה-50 למדינה. הנחה את שתי העונות הראשונות של תוכנית הבידור "של מי השורה הזאת?". במשך שנים רבות היה שחקן מרכזי בלהקות השחקנים של תיאטרון "הבימה" והתיאטרון הקאמרי ונחשב לאחד השחקנים הדרמטים והקומיים הבולטים בישראל. בשנת 2007 הנחה בערוץ 10 את השעשועון "מסדר זיהוי". ב-2008 השתתף בתפוס ת׳פסטיגל, בתפקיד ראש העיר הרשע. זוהי הייתה חזרתו של בראבא להפקת הפסטיגל, לאחר 18 שנות היעדרות. בשנת 2009 השתתף בעונתה השלישית של סדרת הטלוויזיה, "פרשת השבוע", ששודרה בHOT. ב-2010 השתתף בסרט הקומדיה "חצי טון ברונזה" שהוקרן ב-HOT VOD. בשנת 2011 גילם את חוקר התלמוד פרופסור אליעזר שקולניק בסרטו של יוסי סידר, "הערת שוליים", זוכה פרס התסריט בפסטיבל קאן. בראבא זכה ב"פרס אופיר" לשחקן הראשי הטוב ביותר, על משחקו בסרט. באותה שנה השתתף כשופט בתוכנית הבידור, "הצחקתם אותנו", ששודרה בערוץ 2 במסגרת הזכיינית "קשת". באותה שנה השתתף בתפקיד משנה במופע הילדים מותק של פסטיבל לצד רינת גבאי ויעל בר זוהר. בשנת 2012 השתתף בראבא בתוכנית רוקדים עם כוכבים (ערוץ 2) לצידה של הרקדנית פולינה צ'יקטונוב. בהמשך אותה שנה, החל בראבא להשתתף בסדרה הקומית "משפחה לא בוחרים" המשודרת בערוץ 2. בשנת 2013 גילם את מנחם פלקמן, מייסד ומנהל אחוזת "נווה שמרית" בסדרת האימה "המגפה". ב-2015 העלה לראשונה מופע יחיד, שמבוסס על אפיזודות מחייו האישיים והמקצועיים. את המופע כתב עם בת-זוגו, שמר גאון. בשנת 2016 עלתה סדרת הטלוויזיה "אורי ואלה", בכיכובו כאורי ובהשתתפות דינה סנדרסון, שאף כתבה את הסדרה. ב-2017 שיחק את הרב אלתר קופר בסדרה "שבאבניקים". ב אפריל 2018 השתתף בעונת הבנים בתוכנית הדוקו-ריאליטי ”אף פעם לא מאוחר” ששודרה בערוץ רשת 13. בדצמבר 2018 השתתף בסדרת הדרמה "פמת"א" המשודרת בערוץ כאן 11 בה שיחק בתפקיד השופט קאהן. ב-2019 השתתף בסרט הקולנוע "אהבה בשלייקס". בשנת 2020 הופיע בראבא בגרסה המחודשת של תוכנית הבידור המצליחה "זהו זה!", בסדרה "סטוקהולם" בערוץ כאן 11, בסדרה "הנחלה" בערוץ קשת 12 ובסרט הקולנוע "שאיפה לחיים". בשנת 2022 השתתף בראבא בתפקיד ראשי בקמפיין של רשת דיור מוגן מגדלי הים התיכון. בר אבא חזר לעונה המיוחדת שהפיק ערוץ כאן 11 של "זהו זה!" בעקבות אירועי הקורונה, וממשיך להופיע בתוכנית זו גם ב-2023.

"פרס אופיר" לשחקן הראשי הטוב ביותר בסרט הערת שוליים בשנת 2021 זכתה חמישיית "זהו זה" (גידי גוב, אבי קושניר, דב'לה גליקמן, מוני מושונוב ושלמה בראבא) בפרס מפעל חיים של אמ"י (תשפ"ב). בשנת 2022 זכתה התוכנית בפרס מפעל חיים מטעם האקדמיה הישראלית לקולנוע וטלוויזיה.מאי 2023 תואר דוקטור לשם כבוד מטעם אוניברסיטת בר-אילן לבר אבא ולמשתתפי התוכנית זהו זה בהווה: גידי גוב, דב גליקמן, מוני מושונוב ואבי קושניר, על תרומתם המשותפת לתרבות הישראלית בשנת ה־75 למדינת ישראל, ועל יכולתם לשמח וללכד את הציבור סביב יצירתם.

בראבא היה נשוי לאינגריד בן מוריס, אך השניים התגרשו לאחר שנים ספורות. לאחר מכן נישא בשנית לחמדה לוי, ולשניים נולדו שני בנים. הזוג התגרש ב-2012. משנת 2013 הוא בזוגיות עם שמר גאון הצעירה ממנו ב-25 שנה, ולזוג בת שנולדה ב-2015. בספטמבר 2017 נישאו השניים. מתגורר בשכונת רמת אביב בתל אביב.