מושונוב נולד וגדל ברמלה, למשפחה ממוצא בולגרי. את שירותו הצבאי בצה"ל התחיל בלהקת הנח"ל. לאחר זמן קצר הוא עבר ל"צוות הווי סיני". לאחר שירותו הצבאי החל ללמוד משחק בחוג לאמנות התיאטרון, בפקולטה לאמנויות של אוניברסיטת תל אביב.

לאחר שנת לימודים, הצטרף לפרויקט של נולה צ'לטון בעין הוד של תיאטרון חיפה. בתיאטרון חיפה שיחק בהצגות תיאטרון רבות, שהבולטות שביניהן היו "ליל העשרים", "גוג ומגוג שואו" (בשיתוף עם צוותא), "שרגא הקטן", "זלמנים", "רגעים", קריזה ו"רומיאו ויוליה", בה הציג את רומיאו. הופיע גם במספר רב של הצגות תיאטרון, בין היתר בתיאטרון הקאמרי השתתף ב"מותו של סוכן", "המתלבט" ו"אני לא רפופורט"; ב"תיאטרון הבימה" שיחק בין היתר ב"החווה", "תל אביב הקטנה", "הכיסאות" ו"זרים", בתיאטרון בית ליסין שיחק ב"אחרון הפועלים". בשנת 2006 ביים בהבימה את "חתונה מושלמת" ושיחק ב"העז או מי זאת סילביה?" מאת אדוארד אלבי. ב-2007 עלתה בתיאטרון זה ההצגה "39 מדרגות" בהשתתפותו. בשנת 2009 עלתה בתיאטרון הבימה ההצגה "בגידה" מאת הרולד פינטר בבימויו ובהשתתפותו, לצד אבי קושניר וליליאן ברטו. באותה שנה עלה לאקרנים הסרט "בדרך אל החתולים", בבימויו של חורחה גורביץ', בו שיחק מושונוב בתפקיד הגברי הראשי. באותה שנה שחק במחזה "החדר האחורי" מאת עדנה מזי"א בתיאטרון הקאמרי בשיתוף עם תיאטרון בית לסין לצדה של רעייתו סנדרה שדה.

בשנת 1978 נבחר מושונוב, לצד שלמה בראבא, להגיש תוכנית נוער בטלוויזיה בשם "זהו זה!", ששודרה בתחילה בטלוויזיה החינוכית. בתחילה שודרה התוכנית כמגזין לבני-נוער, אך כעבור שנים ספורות שונה אופייה והיא הפכה לתוכנית סאטירה והומור לכל המשפחה. אל בראבא ומושונוב צורפו בהמשך שחקנים שונים, בהם גידי גוב, דבל'ה גליקמן ולאחר כמספר שנים גם אבי קושניר. ב-1993 נמכרה התוכנית "זהו זה!" לזכיינית ערוץ 2 "רשת" וירדה לבסוף מהאוויר בשנת 1998. מבין כל מנחי ושחקני "זהו זה!", מושונוב הוא היחיד שהופיע בתוכנית לאורך כל 21 עונותיה. ב-1990 השתתף מושונוב לראשונה בהפקות עצמאיות, בתוכנית "מסיבת גן" בתפקיד שלמה השכן החדש של ג'וליאן (ג'וליאן שגרן) וכצחי מדריך הטיולים באחד מפרקי הסדרה "ציפי בלי הפסקה". במסגרת הצמד "מוני ובראבא" העלה יחד עם שלמה בראבא מספר מופעי בידור, בהם "רואים כפול", "פתאום ביחד", "הביצה והתרנגולת" ועם אמנים נוספים את "ערב חד פעמי" ו"ערב חד פעמי קונבנציונלי". הוא השתתף עם בראבא גם בחמישה מופעי פסטיגל. השירים שביצע הצמד במסגרת מופעים אלה היו "חברים" ב-1983, "עייפים אך מרוצים" ב-1984, "השיר של יומבו וגמבא" ב-1987, "אני והצל שלי" ב-1988 ו"ילד סנדוויץ'" ב-1990. השניים נטלו חלק גם בהנחיית כל הפסטיגלים בהם השתתפו. בשנת 2002 הנחה את תוכנית הטיולים "מושונוב על המפה" בערוץ 2. בשנת 2004 החל להופיע בתוכנית המערכונים "קצרים" בערוץ 2, וב-2007 הנחה את תוכנית האלתורים קצרת-המועד "טוב שבאת" בערוץ 10 והשתתף בסדרה "להוציא את הכלב" ב"הוט 3". בשנת 2008 השתתף בסרטים האמריקנים "הלילה הוא שלנו" ו"שתי אהבות". כמו כן, הצטרף לצוות השחקנים בעונה השנייה של "בטיפול" ושיחק בסדרה "פאפאדיזי" ב-yes. בשנת 2012 שיחק מושונוב בסדרה של yes "תא גורדין" לצידם של רן דנקר, נטע ריסקין והלנה ירלובה. בשנת 2010 נערכה לכבוד מושונוב תוכנית מיוחדת בשם "עושים כבוד" ששודרה בערוץ 2. בשנת 2014 חזר מושנוב לטלוויזיה החינוכית, לתפקיד בתוכנית הילדים "שרגא בישגדא". באותה שנה החל לשחק בתוכנית "היהודים באים" בערוץ הראשון. בשנת 2015 עלתה הסדרה "שחקן זר" ששודרה בערוץ 2, בה גילם את תפקידו של מאיר מיוחס. באותה שנה שיחק בתוכנית "אנחנו במפה", ביחד עם שלישיית מה קשור. בנוסף, גילם את נגיד בנק ישראל לשעבר סטנלי פישר בפרסומת מעוררת מחלוקת עבור קרן קלע של אמיר ברמלי ששודרה בפריים-טיים, כולל ב"ברייק הזהב" לפני הכרזת הזוכים בתוכניות ריאלטי. בשנת 2016 שיחק מושונוב בסדרה של HOT "עקרון ההחלפה" לצידם של ליאור אשכנזי, ליאת הר לב ומוריס כהן. בשנת 2017 גילם מושונוב בתפקיד משני בסדרה "אלישע", את מוריס אבא של אלישע. בשנת 2019 שיחק במיני-סדרה של נטפליקס "אלי" לצדם של סשה ברון כהן, נואה אמריך ואלכסנדר סידיג. משנת 2020 מופיע מושונוב בגרסה המחודשת של תוכנית הבידור המצליחה "זהו זה!", המשודרת בכאן 11.

ב-1975 שיחק בתפקיד משני בסרט הקולנוע "יהיה טוב סלומוניקו". בשנת 1977 שיחק בתפקיד ראשי בסרט הקולנוע, "מסע אלונקות", לצידו של גידי גוב. על תפקודו בסרט, כתב המבקר זאב רב-נוף: "מצוין. איך הוא מסוגל להוציא משהו מהתפקיד הזה, רק אלוהים יודע."ב-1978 שיחק בסרט "קשר הדבש", "האיש שבא לקחת" (1981), לצד אסי דיין, בסרט הישראלי-אמריקאי של משה מזרחי, "אהבה גנובה" (1986), לצד גילה אלמגור וטום הנקס ובהפקה הישראלית-אמריקאית, "לבנון לנצח" (1987), לצד משה איבגי וכריסטופר ווקן. בשנת 1987, השתתף בקליפ השיר "להמשיך לצעוד" של עפרה חזה. בשנת 2000 השתתף מושונוב בסרטו של יוסף פיצ'חדזה, "בסמה מוצ'ו", ובשנת 2001 בסרטו של דובר קוסאשווילי, "חתונה מאוחרת". משחקו ב"חתונה מאוחרת" זיכה אותו ב"פרס אופיר". בשנת 2002 שיחק בסרטו של עמוס גיתאי "קדמה" וב-2003 שיחק ב"מתנה משמיים" של דובר קוסאשווילי, לצד רמי הויברגר וליאור אשכנזי. בשנת 2004 שיחק בסרטו של מרק רוזנבאום "לרקוד" לצד אלון אבוטבול וכן בסרט "שנת אפס", עליו היה מועמד לפרס אופיר. בשנת 2013 יצא לאקרנים הסרט "לצוד פילים", בו שיחק. באותה שנה שיחק בסרטו של רפאל נג'ארי "מעל הגבעה". בשנת 2015 גילם את עמוס עוז המבוגר בסרטה של נטלי פורטמן "סיפור על אהבה וחושך". בשנת 2022 שיחק בשני סרטים לצד בנו, מיכאל מושונוב, בקומדיה "חומוס FULL טריילר" ובדרמה "אמריקה". ב-1991 השתתף יחד עם שלמה בראבא, גידי גוב, האחיות יוספי ושלישיית הופה היי במופע לפסח שנקרא "זהו הופה", ובאותה שנה השתתף לצד צבי שיסל בקלטת הווידאו לילדים של אריק איינשטיין "כמו גדולים" מאז שיתף פעולה פעמיים נוספות עם השניים: ב-1992, כשכתב, הפיק ושיחק בסרט "כבלים" יחד עם שיסל ואיינשטיין, וב-1993, כשהשתתף עם שיסל בקלטת ההמשך ל"כמו גדולים" של איינשטיין, "כמו גדולים 2".

בשנת 2021 זכתה חמישיית "זהו זה" (גידי גוב, אבי קושניר, דב'לה גליקמן, מוני מושונוב ושלמה בראבא) בפרס מפעל חיים של אמ"י (תשפ"ב). בשנת 2022 זכתה התוכנית "זהו זה" בפרס מפעל חיים מטעם האקדמיה הישראלית לקולנוע וטלוויזיה.במאי 2023 זכה בתואר דוקטור לשם כבוד מטעם אוניברסיטת בר-אילן למושונוב ולמשתתפי התוכנית זהו זה בהווה: דבל'ה גליקמן, שלמה בראבא, גידי גוב ואבי קושניר, על תרומתם המשותפת לתרבות הישראלית בשנת ה־75 למדינת ישראל, ועל יכולתם לשמח וללכד את הציבור סביב יצירתם.

מושונוב נשוי מ-1977 לשחקנית סנדרה שדה, ואב לזמרת האופרה אלמה מושונוב ולשחקן והמוזיקאי מיכאל מושונוב. מתגורר בתל אביב.