נולדה בשם לאה קניג בעיר לודז' שבפולין, להורים שחקנים. אמה, דינה קניג, הייתה שחקנית מוערכת בפולין וברומניה; אביה, אוסקר יוסף קאמיין, ודודה היו חברי הלהקה הווילנאית ("די ווילנער טרופע"). במהלך תקופת השואה במלחמת העולם השנייה, חיו ליא ואמה בצ'רנוביץ שבאוקראינה ובבסרביה שבמולדובה, ולאחר מכן נמלטו לתוככי ברית המועצות, לאזור אוזבקיסטן הסובייטית. אביה אוסקר יוסף קמיין נשאר עם להקתו בפולין במהלך תקופת השואה, ונפטר ממחלה בשנת 1942. לאחר מכן, אמה התחתנה בשנית עם השחקן יצחק חוויס, יליד סרביה. לאחר מלחמת העולם השנייה, בדרכם מערבה, השתקעה המשפחה ברומניה. בניגוד לרצון אמהּ, קניג החלה ללמוד משחק באקדמיה לאמנות שבבוקרשט, והחלה להופיע עוד מגיל צעיר בתיאטרון היהודי בעיר. היא הופיעה במגוון רחב של הצגות ונודעה ביותר בעת שגילמה את דמותה של אנה פרנק (במחזה שנכתב על ידי פרנסס גודריץ', שזכתה בפרס פוליצר על כתיבתה, ובבימויו של ג'ינל תאודורסקו). לרגל יום השואה הבינלאומי, שחל ב-27 בינואר 2022, פורסם תיעוד מההצגה, על ידי הארכיון המרכזי לתולדות העם היהודי של הספרייה הלאומית.

1957 – פרס עבור משחקה ב"אנה פרנק" - ברומניה. 1962 – פרס יוסף קלוזנר - על התפקיד אווה ב"בראשית" מאת אהרן מגד. 1987 – פרס ישראל לתיאטרון. 1998 – פרס התיאטרון הישראלי על מפעל חיים. 2008 – תואר דוקטור לשם כבוד מטעם אוניברסיטת תל אביב. בנימוקים להענקתו, צוין כי התואר ניתן לה ”על תרומה שאין דומה לה לחברה ולתרבות בישראל ועל יכולת וירטואוזית על הבמה”. 2010 – תואר דוקטור לשם כבוד מאוניברסיטת בר-אילן. 2012 – פרס א.מ.ת בקטגוריה תרבות ואמנות בתחום תיאטרון. 2017 – פרס הרשות הלאומית לתרבות היידיש לשנת תשע"ז. 2018 – נבחרה קניג על ידי ועדת השרים לענייני סמלים וטקסים להדליק משואה בטקס הדלקת המשואות לציון 70 שנה להקמת מדינת ישראל (לצד השחקן זאב רווח). 2020 – נקרא על שמה הרחוב המוביל לתיאטרון גבעתיים בגבעתיים (קיים רחוב נוסף על שמה בעיר חולון). 2020 – אות כבוד מטעם שגרירות רומניה. 2023 – תואר דוקטור לשם כבוד מטעם המרכז האקדמי פרס.

יניב שמעון גולדברג, בימת חייה - שיחות עם השחקנית ליא קניג על תיאטרון וביוגרפיה, הוצאת אוניברסיטת בר-אילן, 2022.