סנדרוביץ' נולד באוקראינה הסובייטית, ברית המועצות דאז. משפחת אביו חיה באוז'הורוד, בגבול ברית המועצות וצ'כוסלובקיה, אביו ניגן בקלרינט ובסקסופון בתזמורת של התיאטרון העירוני. ב-1968, בהיותו בן עשרים, עבר אביו יחד עם המנצח של תזמורת אוז'הורוד לתזמורת התיאטרון של צ'רניגוב, עיר בה חיה משפחת אמו של אלכסנדר. שם, בצ'רניגוב, הוריו נפגשו ושם אלכסנדר נולד. אמו שרה ורקדה בלהקה חובבנית ובמקצועה תפרה בגדים במתפרה. מכיוון שכמוזיקאי היה אביו בסיבובי הופעות ברחבי ברית המועצות הרחק ממשפחתו, זנח אביו את המוזיקה והפך לצלם. לאלכסנדר אחות קטנה ממנו בשש שנים. הוא למד בתיכון בשנים 1977–1987, הלך פעמים בודדות לחוג דרמה ולא גילה שום עניין בתיאטרון. ב-1988 הוא התקבל למסלול הנדסת מכונות ב"מכון הפוליטכני" בעירו. במכון הפוליטכני היה תיאטרון סטודנטים, שם החל אלכסנדר לשחק ומייד נשבה בחיידק המשחק. הוא למד הנדסת מכונות במשך שנתיים וחצי, מבלי שסיים את לימודיו, מכיוון שעלה לישראל ביחד עם משפחתו ב-1991. בישראל למד במסלול למשחק בחוג לתיאטרון בפקולטה לאמנויות באוניברסיטת תל אביב (1996-1992). בכיתתו למדו השחקנים אמיתי קדר, רותי בורנשטיין, ערן שראל ולילך כספי. בין מוריו באוניברסיטה היו יבגני אריה, נולה צ'לטון, עדנה שביט ויורם בוקר. במסגרת לימודיו נסע עם הצגות האוניברסיטה להופעות בעולם וזכה בפרס השחקן המצטיין על ביצוע תפקיד קספר במחזה "קספר" מאת פטר הנדקה במסגרת הפסטיבל הבינלאומי לבתי ספר למשחק בברנו, צ'כיה, 1995. שיחק בהצגה "קברט-עגנון" בבימויה של עדנה שביט שהוצגה בפסטיבל עכו 1996, הצגה שהועלתה לאחר מכן במסגרת הפרינג'. הצטרף לתיאטרון גשר במסגרת "גשר 2", פרויקט הצעירים של גשר. על תפקידו בתיאטרון – סגנרל, משרתו האישי של דון ז'ואן ב"דון ז'ואן" זכה בפרס התיאטרון הישראלי בקטגוריית השחקן המבטיח לשנת 1998/99. אחד מתפקידיו הבולטים בגשר היה בהצגה "שוורץ וחיות אחרות", בה גילם את דמותו של עורב בשם שוורץ, שחושב את עצמו ליהודי זקן ורדוף אנטישמים. במסגרת התפקיד סנדרוביץ' חובר לכבלים שבעזרתם עף ותוך כדי תעופה שר וניגן על כינור. היה מועמד לפרס התיאטרון הישראלי לשנת 2008 בקטגוריית שחקן המשנה על תפקידו כמלווליו בהצגה "הלילה השנים עשר". בקולנוע שיחק אלכסנדר סנדרוביץ' בתפקיד ראשי בסרט "חצוצרה בואדי" בבימוי לינה וסלבה צפלין (2002). הוא גילם את דמותו של אלכס, עולה חדש מרוסיה ששוכר חדר בעליית גג בחיפה, מעל משפחה ערבית ומתפתח רומן בינו לבין בת המשפחה. על תפקידו בסרט זכה בפרס השחקן הטוב ביותר בפסטיבלים בז'נבה ופורט לודרדייל, 2002. בקומדיית המצבים הטלוויזיונית "שאול", סנדרוביץ' גילם את דמותו של גרגורי, עולה חדש, רופא במקצועו, שהוא ממורמר על שלא הצליח למצוא עבודה כרופא ונאלץ לעבוד כעוזרו של שאול (דב'לה גליקמן) בחנות פרחים. בסדרת הטלוויזיה "פולישוק" היה בתפקיד יפים שרצקי, חשב המשרד לקידום חברתי. בסדרת טלוויזיה לקהל הרוסי "בין השורות" (2009) סדרה שמתארת את הנעשה במערכת עיתון רוסי בישראל, סנדרוביץ' גילם את דמותו של גאורגי, עיתונאי לענייני בריאות בעיתון רוסי, היפוכונדר שתמיד חולה. בסדרת הטלוויזיה "חסמבה דור 3" (2010) שיחק בתפקיד דנטה, המדען הראשי הרשע של "זורקום", החברה שילדיו של אלימלך זורקין הקימו. ליאנדר האוסמן, הבמאי הגרמני שביים את ההצגה "מזימה ואהבה" בה השתתף סנדרוביץ' בתיאטרון גשר ב-1999, הזמין אותו לשחק בסרט הגרמני Hotel-Lux ‏(2011) אותו הוא ביים. זהו סרט שאינו קשור לישראל וסנדרוביץ' שיחק בתפקיד מרכזי של ניקולאי יז'וב, ראש הנ.ק.וו.ד בתקופת הטיהורים הגדולים, בשנים 1936–1938. בדרמה הקומית לטלוויזיה "לנין באוקטובר" (2010), שיחק את גרישה, בחור שחולם לפתוח מסעדה. הוא מקבל כסף בירושה מדודו שהיה קומוניסט מושבע, שמתנה את מתן הכסף בכך שהמסעדה תפעל לפי ערכים קומוניסטיים, ופסלו של לנין יוצב במרכז המסעדה. על תפקידו בסרט זכה בצל"ש בפסטיבל הסרטים הבינלאומי חיפה 2011. אלכסנדר סנדרוביץ' נשוי, אב לשני ילדים ומתגורר ברמת גן.

בתיאטרון גשר קולנוע טלוויזיה