ברוך נולד וגדל בחיפה להורים ילידי רומניה. אביו רצה שיהיה לשני בניו תואר אקדמי, ולכן ברוך למד הנדסת אלקטרוניקה ועסק בזה במשך תקופה. כשהיה בן 17 התגלתה גלאוקומה בשתי עיניו, עינו השמאלית נפגעה, למרות טיפולים ממושכים. עקב המחלה לא גויס לצבא. החל לימודי משחק בבית צבי, אך לאחר שלושה חודשים הופסקו לימודיו. בוגר החוג למשחק של אוניברסיטת תל אביב.

בתיאטרון הקאמרי בו ברוך משחק מאז שנת 1986 כיכב בהצגות ב"ריצ'רד השלישי" של שייקספיר בתפקיד הרוצח, מדבידינקו ב"השחף", פודלויקסין ב"שידוכים", ב"עוץ לי גוץ לי" מאת אברהם שלונסקי ודובי זלצר בתפקיד המשרת, "יעקובי וליידנטל" מחזהו של חנוך לוין, צ'יבוטקין ב"שלוש אחיות", המבקר ב"מבקר המדינה", "בחוות החיות" בתפקיד בוגדנוב, פיליפ גלבורג ב"שברי זכוכית", הילד ב"נוצות", ב"הסוחר מוונציה" לפי שייקספיר בתפקיד גרציאנו, מיירם ב"בויטרה", הבן ב"מסע של אמא טאבורי", יוקי הספר ב"ראש משוגע", דרומיו ב"קומדיה של טעויות", הארזא ב"מיכאל קולהאס", קרום ב"קרום", וייסקופ ב"גטו" מאת יהושע סובול, ארנולף ב"בית ספר לנשים" מאת מולייר, הכומר פריס ב"ציד המכשפות" מאת ארתור מילר, וכן ב: "הריון", "רחם פונדקי", "פיקניק בחוסמסה", "כטוב בעיניכם", "אדון וולף" ו"מקום אחר ועיר זרה" על פי ספרה של מאיה ערד, "כימים אחדים" על פי ספרו של מאיר שלו. ב-2007 שיחק ברוך את השופט למקה ב"הרטיטי את ליבי" (חנוך לוין) ועל תפקיד זה זכה בפרס שחקן השנה לתפקיד הראשי. בשנת 1986 ברוך ביים ושיחק בהצגת היחיד "פוזה" מאת יוני עופר. בתיאטרון בית ליסין הופיע בהצגות "פן" ו"ריקודו של ג'ינגיס כהן". במרכז התיאטרוני בנווה צדק בהצגה "הפטריוט", בתיאטרון הסמטה בהצגות "איש הרוח", "הזונה והליצן", "הבשורה". בתיאטרון תמונע בהצגה "שעונים" מחזה מאת דן קלאנזי בבימוי לי גילת מגלם את בנימין השען. בתיאטרון ילדים ונוער נחמן בהצגה "נחמן". באפריל 2011 העלה בתיאטרון הקאמרי הצגת יחיד בשם "משפט פולארד" העוסקת בפרשת יונתן פולארד. ב-1 באוגוסט 2011 היא הוצגה בכנסת בהזמנתם של ח"כ רונית תירוש ויו"ר השדולה למען פולארד ח"כ אורי אריאל, בנוכחות חברי כנסת נוספים. ב-11 בספטמבר 2011 הודיע שלא יסכים להופיע עם ההצגה בקריית ארבע מטעמי מצפון. בשנת 2012 גילם את דוד בן-גוריון במחזהו של אברהם ב. יהושע, "הילכו שניים יחדיו". כמו כן באותה שנה שיחק בהצגה "הם יורים גם בסוסים". בשנת 2014 גילם את וניה במחזהו של כריסטופר דוראנג "וניה, סוניה, מאשה ושפיץ" בקופרודוקציה של תיאטרון חיפה והתיאטרון הקאמרי. בשנת 2015 גילם את יהושע מעיין (האב) במחזהו של גדי ענבר "אח יקר" בתיאטרון הקאמרי. בשנת 2015 גילם גם את האב צביקה במחזהו של דרור קרן "על האש" בתיאטרון הקאמרי. בשנת 2017 גילם את האח אנדריי במחזהו של אנטון צ'כוב "שלוש אחיות" בהפקה משותפת של תיאטרון הקאמרי ותיאטרון הבימה. בשנת 2018 החל לגלם את "יאגו" במחזה אותלו של שייקספיר בתיאטרון הקאמרי. באותה שנה הוא הפך לפרזנטור של קרן קיימת לישראל ביחד עם עדן בן זקן וגילם את דוד בן-גוריון. ב-2019 השתתף בהצגה "ואגנר? לא בא בחשבון" של תיאטרון הקריאה מיסודו של תיאטרון מיקרו, לצידם של מרים זוהר, עדי ביילסקי וניב פטל. בשנת 2022 שיחק את התפקיד הראשי במחזה "מותו של סוכן" בתיאטרון הקאמרי, לצד לאורה ריבלין. רבים הגדירו את משחקו המשכנע כ"תפקיד חייו". בשנת 2022 שיחק את הפרופסור אלכסנדר במחזה ״וניה״ בתיאטרון הקאמרי, לצד דרור קרן. בשנת 2023 שיחק בתפקיד המלך ברנז'ה במחזה "המלך עומד למות", שעלה בתיאטרון הקאמרי בבימויו של עירד רובינשטיין.

בטלוויזיה שיחק בסדרות רבות, בהן "קשת וענן" (1983–1986), קו 300 (1997), "דב גרונר" (בה גילם את מנחם בגין), "כתר בראש", "המעלית", "מגרות הלב", "הפיג'מות" (אבא של אילן), "האי 2" (מישל מפקד המשטרה), "על קצות האצבעות", כמנתח פלסטי. בקולנוע הוא שיחק בסרטים: "קומפוט נעליים" (1985), "המאהב" (1985), "האינסטלטור" (1986), הקיץ של אביה" (1988), "מקום ליד הים" (1988), "שירת הסירנה" (1994), "חייל הלילה", "המשוטט" ו"מלכת הכיתה". לאורך השנים השתתף ברוך בדיבוב סדרות שונות בהם "ספר", "וולטר מלון", "טאז-מאניה", "כח וידאו" ועוד' והופיע בקלטות ילדים רבות ביניהם "ירון בעל החלונות", "מי שטוב לו ושמח כף ימחא", "דגדוגים", "אבא עושה בושות", "גומות החן של זוהר", "בוא אלי פרפר נחמד", "מחסן השטוזים של דתיה", "גינת השטוזים של דתיה" ו"סיפורי התנ"ך לילדים מאת אפרים סידון". בשנת 2020 השתתף בעונה השנייה של "ג'ודה" בתור גדעון, סוכן של היחידה הבדיונית למקרים על טבעיים סל"ע 48.

1980 - הפרס הראשון בפסטיבל עכו על ההצגה "פונדק הרוחות" של נתן אלתרמן. 1984 - הפרס הראשון בפסטיבל עכו על משחקו ב"ריקודו של ג'ינג'יס כהן". 1994 - הפרס הראשון בתיאטרונטו על משחקו בהצגת היחיד "הנמר" לפי מחזה של דריו פו בבימוי עמי דיין. 1994 - פרס רוזנבלום לאמנויות הבמה (פרס מלגה) של עיריית תל אביב-יפו. 1998 - "פרס התיאטרון הישראלי" לשחקן בתפקיד משנה על משחקו במחזה "הזונה מאוהיו" מאת חנוך לוין. 2001 - פרס השחקן המצטיין על שם אבנר חזקיהו. 2008 - "פרס התיאטרון הישראלי" לשחקן השנה על משחקו בהצגה "הרטיטי את לבי" מאת חנוך לוין. פרס על שם אברהם בן-יוסף - חמש פעמים. 2016 - פרס השחקן המצטיין בחג המחזמר על תפקידו במחזמר המקורי "סירות בודפשט". 2020 - פרס השחקן הטוב ביותר בפסטיבל התיאטרון בסין על תפקידו בהצגה "אשכבה" מאת חנוך לוין. 2022 - פרס מפעל חיים מטעם התיאטרון הקאמרי.

רמי ברוך נשוי לשחקנית אסתי קוסוביצקי, ולהם שני ילדים.