אשתר נולד בחדרה, נכדם של עולים מתימן אשר השתקעו בעיר. למד בבית הספר התיכון "עמל חדרה" במגמת אלקטרוניקה. את שירותו הצבאי עשה בחיל הקשר, השתחרר מהשירות בדרגת סגן, והועלה במהלך שירות המילואים שלו עד לדרגת רב-סרן. לאחר שחרורו מצה"ל למד משחק בבית צבי במחזור 1991. ואחרי לימודי המשחק החל להופיע במופעי בידור בבית ציוני אמריקה. פריצתו הגדולה לתודעת הציבור התרחשה כאשר שיחק במשך שלוש עונות בצוות הקבוע של תוכנית הטלוויזיה הקומית המצליחה "הקומדי סטור" בשנים 1994–1997, שם גילם דמויות רבות, שהזכורות ביותר בהן: "יש לי יש לי יש לי", "וואו עם מ. כוערת" (פרודיה על ג. יפית), השוטר שוראני (שוטר לא-יוצלח שסיסמתו היא "משטרת ישראל תטפל בבעיה"), שאול המשורר (שר שירי תועבה על שוודיות בלונדיניות ושופעות חזה) ויהוקמץ בן פסיק (דוקטור ללשון). בעקבות הצלחת התוכנית הופיע אשתר יחד עם הצוות הקבוע של "הקומדי סטור" ברחבי ישראל במופע ששילב סטנד-אפ, מערכונים ואינטראקציה עם הקהל. אחרי הקומדי סטור השתתף בסדרה "שמש" יחד עם צביקה הדר, רובי דואניאס ויואב צפיר כתסריטאי, קריין ושחקן אורח. בין השנים 1997–1999 הנחה את השעשועון "לינגו" בערוץ 2. השתתף בסדרות לילדים בערוץ הילדים: "האוניברסיטה הקטנה" (ששודרה בין השנים 1996–1997), "בעקבות הסיפורים הקסומים", וכן בתוכניות "פרה פרה" ו"מוטרף". בשנים 2002–2003 וב-2005 שימש כשופט בתחרות זיהוי השירים של התוכנית "לא נפסיק לשיר" אותה הנחו צביקה הדר וגלית גיאת. בתוכנית זו הפגין את בקיאותו הרבה במילות השירים העבריים. בשנים 2003–2013 השתתף בתפקיד אורח בתוכנית "הפיג'מות". אשתר משתתף בסדרת הטלוויזיה "נחשון כל יכול" בערוץ הופ! בכבלים. בשנת 2004 החל לדבב את הזקן החכם ("המאסטרו") בשתי עונות של התוכנית "היה היה" ("היה היה - הממציאים" ו"היה היה - כדור הארץ"), המשודרת בערוץ לוגי. דיבב גם את קולו של המשורר ברל'ה זמר במשחק המחשב "בתככי הרייטינג" ב-1996. בתיאטרון באר שבע השתתף בהצגות "אחים לנשק", "זינגר", "פאל ג'ואי", "בית מלאכה", "קיץ ועשן", "נוכלים ואוהבים" ו"אצבע אלוהים"; בתיאטרון לילדים ולנוער השתתף בהצגה "שבועת אדרה", בתיאטרון הבימה השתתף בהצגה "המכשפה"; בתיאטרון בית ליסין השתתף בהצגה "התאומים מוונציה". כמו כן השתתף בהצגות ילדים ונוער ובמופעים שונים, בהם ההצגות "שלושת המוסקטרים" "עלי בבא וארבעים השודדים" "הברווזון" "נסיך האגדות" ובפסטיגלים 1999 ו- 2006, וכתב את הצגות הילדים "אלאדין" (לצידו של ליאור כלפון), "עלי בבא וארבעים השודדים", "שכחו אותי בבית", "סינדרלה", "שלגיה והצייד", "מאה ואחד כלבים וגנבים", "המכבים", "המכבים הקרב האחרון", ועוד. בשל בקיאותו הרבה בשירים עבריים מגיש אשתר מדי שבוע ברשת ג' תוכנית רדיו בשם "ציפורי שיר עם אסף אשתר" ובה הוא מביא את הסיפורים מאחורי השירים המושמעים בתוכנית. בשנת 2010 העלה את המופע "כל המילים השמחות", בו הוא משלב שירה בציבור וסיפורים על אותם שירים, ובשנת 2011 החל לגלם את דמותו של כוכב הילדים "אספון". בשנים 2011–2013 כיכב אשתר בסדרות של כוכב הילדים הדוד חיים (חיים אוסדון) "המכולת של דוד חיים" (בתפקיד שפי שף הטבח), "מחנה הקיץ של דוד חיים" (בתפקיד אספון איש המילים ושפי שף הטבח) והסדרה האחרונה של דוד חיים "מה מי מו" (בתפקיד אספון איש המילים) ב-yes vod. בשנת 2017 הצטלם לסדרת רשת חדשה לילדים בשם "אספון גיבור האלף בית" בתפקיד אספון. באותה שנה השתתף בסרט הקולנוע של אלון גור אריה "מבצע ביצה", לצד חיים אוסדון, טל מוסרי, דנה אברהם-סמו, ירון ברלד, יהורם גאון ועוד. השתתף בתוכנית הישרדות VIP עונה 2, שעלתה בשנת 2019 ברשת 13 והודח ביום ה-25 למשחק. הגיע למקום השמיני והיה למושבע השלישי. בשנת 2022 אשתר צפוי לשחק בעונה השנייה של לבד בבית. וכן גם בסדרה "לצאת ולטייל ברכבת ישראל" בכיכובו של חיים אוסדון, בתור שמוליק המדריך.

בשנת 1990 נישא לכוכבה. לזוג שתי בנות.