אנקרי נולדה, גדלה והתחנכה בלוד כבת שלישית מבין חמישה ילדים לחנה, עקרת בית, ואנדריי, שוטר במשטרת ישראל, שניהם ממוצא תוניסאי. כשהתגייסה לצה"ל שובצה תחילה במשרד הביטחון, ולאחר כשנה וחצי עברה ללהקה צבאית של חיל החינוך והנוער. אנקרי החלה את דרכה בתחום המשחק בדרמה הטלוויזיונית "לחם". בשנת 1985 שרה ב"תחרות הזמר העברי" שנערכה בפסטיבל ערד את השיר "עוד מעט" (מילים: שמוליק קלוסקי לחן: דנה אשכנזי) שזכה במקום השמיני. באפריל 1987, התמודדה אנקרי בתחרות הקדם אירוויזיון, עם השיר "נוסטלגיה" (מילים: יאיר קורח לחן: שלמה פרי), בליווי שלישייה (רון, דן גנג ודוד רגב), והשיר זכה במקום ה-14. בדצמבר 1990, לאחר שסיימה את לימודיה בבית הספר למוזיקה "רימון", יצא לאור אלבום הבכורה שלה "רואה לך בעיניים", בהפקתו המוזיקלית של אלון אולארצ'יק. את כל השירים באלבום היא כתבה והלחינה בעצמה, פרט ל"עוד יום שקט", שהלחין מנהר ברווה ול"שיר", שאותו הלחינה ואת מילותיו כתבה עם ניסים טהר. האלבום זכה להערכה רבה, ובין השאר נכללו בו השירים "רואה לך בעיניים", "לוליטה" ("האמרגן פָּטִיטוֹ"), "לך תתרגל איתה", "געגוע" שנכתב לזכר אביה אנדריי שהתאבד בשנת 1986 ו"עד מתי". האלבום הגיע למעמד אלבום זהב ומאוחר יותר המשיך ומכר מעל 100,000 עותקים (הנחשבים בימינו למעמד פלטינה משולשת). אנקרי זכתה בתואר "זמרת השנה" במצעד הפזמונים העברי השנתי של רשת ג' ב-1991. בשנת 1991 הופיעה אנקרי בתוכנית "מסיבת גן". בדצמבר אותה שנה השתתפה בפסטיגל עם השיר "מיכאל" שזכה להצלחה, ושרה בחלק האומנותי את השיר "לך תתרגל איתה". בשנת 1992 הופיעה בפעם השנייה ברציפות בפסטיגל עם השיר "קצת אחרי כולם" (עיבוד: עובד אפרת), ושרה בחלק האומנותי את השיר "מיכאל". במרץ 1993 הוציאה אנקרי את אלבומה השני, "קראת לי אסתר", ובו השירים "מיכאל", "קראת לי אסתר", "כמה רעש", "לולו", "אושר ועושר", "רגעים" ו"לפעמים". האלבום הגיע למעמד אלבום זהב, והביא לזכייתה השנייה של אנקרי בתואר "זמרת השנה" ברשת ג'. באותה שנה השתתפה בתפקיד אורח בתוכנית "זהו זה" (כשחקנית וזמרת), הופיעה בפעם השלישית בפסטיגל עם השיר "לי ושני", ושרה בחלק האומנותי את השיר "קראת לי אסתר". אלבומה השלישי של אנקרי, "למרות ובגלל", יצא בדצמבר 1997, ממנו הצליחו השירים "למרות ובגלל", "האישה", "לא יכולה לישון", "נלקח ממני סוד", "את הכל" ו"עוד לא נרגע בינינו". ב־1998 יצא אלבום הופעה שכלל שירים מתוך ההופעה המשותפת של אנקרי ודוד ד'אור. באותה השנה חידשה את השיר "משאלה" (במקור של בועז שרעבי) לאלבום "עבודה עברית", לעיבוד והפקה מוזיקלית של אלון אולארצ'יק. בין השנים 1999–2001, שיחקה בשתי העונות הראשונות של הסדרה "שבתות וחגים". בשנת 2001, יצא אלבומה החמישי "ים". השירים מבטאים את השינוי שעברה אנקרי בחייה האישיים, ובין השאר תהליך החזרה בתשובה. האלבום מלווה בלחנים אתניים ובכלי נגינה מסורתיים. אלבום זה זכה בפרס אקו"ם עבור אלבום השנה לשנת 2001. במאי 2004 יצא לאור האלבום "מיליונים". באלבום 12 שירים, מתוכם 11 שירים נכתבו והולחנו על ידי אנקרי. מילותיו של שיר אחד לקוחות ממזמור תהילים, והולחן על ידי אנקרי. אלבום זה החזיר את אנקרי לתודעה הציבורית, ורשם הצלחה נאה במכירות עם השירים "אהבה גדולה", "שמעתי ש...", ו"מיליונים" שעסק בפערים חברתיים-כלכליים והשפעתם. בשנת 2005, יצא אלבום אוסף כפול משיריה של אנקרי, בשם "המיטב". באלבום נכללו, לצד שירים מאלבומיה של אנקרי, גם הקלטות שונות שלה שלא נכללו באלבומים קודמים, כגרסת כיסוי לשירו של שמוליק קראוס "אחרי עשרים שנה" וגרסה לשירה של עפרה חזה "לאורך הים". כמו כן נכלל באלבום השיר "גינאווה", שהקליטה אנקרי במיוחד עבור האוסף. בשנת 2009, הוציאה אנקרי את האלבום "בשירי רבי יהודה הלוי", ובו 11 שירים שהלחינה למילותיו של המשורר רבי יהודה הלוי. אלבום זה הושפע מתהליך חזרתה בתשובה. האלבום, שהגיע למעמד של אלבום זהב, התבסס על מופע משירי יהודה הלוי, שהעלתה אנקרי בפסטיבל העוד ב-2008. השיר "בכל לבי" מהאלבום יצא כסינגל לתחנות הרדיו. בשנת 2012, יצא אלבומה התשיעי, "הניגון שלך". ב-2013 זכתה בפרס לנדאו לאמנויות הבמה. בנימוקי השופטים נכתב שאנקרי "מצליחה לגרום למוזיקה היהודית להגיע אל מרכז הזירה ובכך יש לה השפעה על התרבות הישראלית שלוקחת משהו מן העבר אל העתיד". בשנת 2017, יצא אלבומה העשירי "יא אמנה", שבמרכזו שירים יהודים-תוניסאיים. את מילות השיר הראשון באלבום, "ירושלים", הכתיבה לה אמה בניב יהודי-ערבי של יהדות תוניס. אנקרי אמרה, שאת השירים באלבום ניתן לחלק לשלוש קטגוריות: שירי שמחות שהכירה מהבית, שירי שירת הנביאים בתרגום מרים גז-אביגל, ושירים שלמדה מפייטנים. ב-20 ביולי 2020, הכריזו אקו"ם על זכייתה בפרס מפעל חיים. מנימוקי השופטים לבחירה: "אנקרי היא מודל לחיקוי והשראה עצומה עבור נשים בכלל ויוצרות בפרט, הצלחתה נטעה אומץ בליבן להעז ולצאת מן המקום המצומצם שייעדה להן החברה אל עבר עשייה משמעותית ותיקון עולם". בשנת 2020 הוציאה יחד עם בתה מעיין ליניק, גרסת כיסוי לשיר "מסך עשן" של אריאל זילבר. השיר יצא במסגרת הפרויקט המוזיקלי צו השעה. בנוסף, חידשה אלבום שירי ילדים, שכתבה לכבוד בתה, ושנשאר גנוז במגירה 12 שנים. אנקרי מרצה בבית הספר למוסיקה ע"ש ג'ונתן ווהל בקריה האקדמית אונו. ב-22 באוקטובר 2023 הוציאה אנקרי בצל מלחמת חרבות ברזל את "התקוה", אותו כתבה מחדש בהתבסס על המנון מדינת ישראל, "התקווה"; חלקים מתוכו נדלו מתוך "הכתר".